POLIGONOS Y CARACTERISTICAS 551121

EUCLIDES (325 a.C. – 265 a C.): Euclides es, sin lugar a dudas, uno de Los tres mayores matemáticos de la Antigüedad junto a Arquímedes y a Apolonio. Quizás sea el más nombrado y también uno de Los mayores de todos los tiempos.

Se conoce poco de La vida de Euclides, sin embargo, su obra sí es amplíamente conocida.

Todo Lo que sabemos de su vida nos ha Llegado a través de los comentarios de un historiador griego llamado Proclo. Sabemos que vivió en Alejandría, al parecer en torno al año 300 a.C. convocado por Tolomeo para fundar una escuela de estudios matemáticos LLamada Primera Escuela de Alejandría. Por otra parte también se dice que estudió en la escuela fundada por Platón.

El nombre de Euclides está indisolublemente Ligado a la geometría, al escribir su famosa obra Los Elementos. Este es el libro más famoso de La Historia de la Matemática. Esta obra está constituida por trece libros, cada uno de los cuales consta de una sucesión de teoremas y en éL se exponen las bases esenciales de la geometría.

A veces se añaden otros dos, Los Libros 14 y 15 que pertenecen a otros autores pero por su contenido, están próximos al último libro de Euclides.

En ella se enuncia el postulado de Euclides: por un punto del plano sólo se puede trazar una paralela y una sola, a una recta. Este postulado es la base de La geometría euclideana.

El contenido de Los Elementos, se ha estado (y aún se sigue de alguna manera) enseñando hasta el siglo XVIII, cuando aparecen Las geometrías no euclideanas.

Fue Lobachevskí el que dio La solución al problema del y postulado: El postulado no puede ser probado y Lo que es más curioso, si consideramos La proposición opuesta

(que por un punto del plano se puede trazar mas de una paralela a una recta dada) se pueden desarrollar otras geometrías que no contienen contradicción alguna. La conclusión es importantísima: existe más de una geometría lógicamente concebible.

Pocos de los teoremas que aparecen en sus textos son propios. Lo que Euclides hizo fue, en realidad, reunir en una sola obra todos los conocimientos acumulados desde La época de Thales. El único teorema que La tradición asigna definitivamente a Euclides es el Teorema de Pitágoras que se demuestra en Las proposiciones 47 y 48 del primer libro de Los Elementos. Aunque La mayoría de Los tratados versan sobre geometría, también prestó atención a problemas de proporciones y a lo que hoy conocemos como Teoría de números.

Euclides recoge gran parte de Los conocimientos pitagóricos sobre tos números y define los números primos y compuestos de forma geométrica: un número entero es compuesto cuando tiene divisores distintos de éL mismo y de la unidad, es decir cuando se puede dibujar como un rectángulo numérico.

Los Elementos ha tenido más de 1.000 ediciones desde su primera publicación en imprenta en 1482. Se puede afirmar, por tanto, que Euclides es el matemático más Leído de la historia.

Los Elementos ha sido la primera obra matemática fundamental que ha Llegado hasta nuestros días, el texto más venerado y que mayor influencia ha tenido en toda la historia de La Matemática De hecho, después de la Biblia, es Los Elementos de Euclides la obra que más ediciones ha Conocido desde que Gutenberg inventara La imprenta. Los Elementos están Constituidos por XIII Libros que contienen 465 proposiciones todas verdaderas, que han resistido e! paso del tiempo como ninguna otra científica permaneciendo vigente e insuperada a lo largo de más de 2300 años.

Esta obra es importante, no tanto por la originalidad de sus contenidos, sino por la sistematización el orden y la argumentación la que está constituida Los Elementos no contienen únicamente un resumen sumario y exhaustivo de toda La Geometría griega. En realidad contienen una gran síntesis no sólo de la producción geometría griega hasta el siglo III a. C. sino también de un compendio, usando e! lenguaje geométrica de toda La Matemática elemental: Geometría plana y espacial, Aritmética y Álgebra.

Euclides construye sus argumentaciones basándose en un conjunto de axiomas (principios o propiedades que se admiten como ciertas por ser evidentes) y a partir de los cuales se deduce todo lo demás que llamó Postulados.

A Continuación enunciamos los famosos cinco Postulados de Euclides

I.- Dados dos puntos se pueden trazar una recta que los une.

II.- Cualquier segmento puede ser prolongado de forma continua en una recta ilimitada en la misma dirección.

III.- Se puede trazar una circunferencia de centro en cualquier punto y radio cualquiera.

IV.- Todos los ángulos rectos son iguales.

V..- Si una recta, al cortar a otras dos, forma los ángulos internos de un mismo lado menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

Este axioma es conocido con el, nombre de axioma de las paralelas y también se enunció más tarde así:

V-. Por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela.

Este axioma, que al parecer no satisfacía al propio Euclides, ha sido el más controvertido y dió pie en los siglos XVIII y XIX al nacimiento de las Geometrías no euclideanas.

Los Elementos consta de trece libros sobre geometría y aritmética.

LIBROS del I al VI: Geometría plana.

o El libro I trata de triángulos, paralelas, incluye postulados, etc.

o El. libro II trata del álgebra geométrica.

o EL libro III trata de la geometría del circulo.

o El libro IV de los polígonos regulares.

o EL libro V incluye una nueva teoría de las proporciones, aplicable tanto a las cantidades mensurables (racionales) como a las inconmensurables (irracionales).

o El libro VI es una aplicación de la teoría a La geometría plana.

LIBROS del VII al X:

o Del VII al IX :Tratan de la teoría de los números (aritmética), se discuten relaciones como números primos, (Euclides prueba ya en un teorema que no hay una cantidad finita de números primos), mínimo común múltiplo, progresiones geométricas, etc.

o El libro X trata de Los segmentos irracionales, es decir, de aquetlos que pueden representarse por raíz cuadrada.

LIBROS del. XI al. XIII : Geometría espacial.

o En el libro XII aplica un método que abarca la medida de Los círculos, esferas etc.

Los Elementos es una verdadera réflexión teórica de y sobre Matemática. Prácticamente en la totalidad de su obra, que consta de 465 proposiciones, 93 problemas y 372 teoremas, ¡no aparecen números! Euclides, además, escribió sobre música y óptica, tiene una obra titulada Sofismas que, dice Proclo, sirve para ejercitar la inteligencia.

Para acabar podemos citar un par de anécdotas que nos ilustrarán, aún más, sobre la vida y gestos de Euclides:

En una ocasión, el rey Ptolomeo preguntó a Euclides si había un camino más breve que el que él utilizaba en Los Elementos para estudiar Geometría, él respondió que no existen caminos reales en la Geometría. Con este juego de palabras, Euclides le vino a decir al rey que no existen privilegios en la Geometría.

En otra ocasión, uno de sus estudiantes preguntó a Euclides qué ganaba con Lo que había aprendido de la Geometría: EL maestro ordenó a su esclavo que Le entregase una moneda (óbolo) a aquel estudiante, para que ganara algo con lo que aprendía de Geometría, dando a entender que aquel muchacho no había entendido nada de la grandeza de La Geometría y de lo desinteresado de ésta.

THALES DE MILETO (624 a.C – 546 a.C.)

Nacio y murió en la ciudad de Mileto. Sus padres fueron Examyes y Cleobuline. Fue maestro de Anaximandro. Ninguno de sus escritos sobrevivieron , por lo que es difícil saber exactamente cuáles fueron sus descubrimientos matemáticos. Probablemente se le atribuyan descubrimientos que no le corresponden. Lo que sabemos de Thales proviene de Aristóteles. Primero fue a Egipto y desde allí introdujo en Grecia Los estudios sobre Geometría.

La opinión antigua es unánime al considerar a Thales como un hombre excepcionalmente inteligente y como el primer filósofo griego, científico y matemático, pero actuaba como un ingeniero. Es considerado el primero de los Siete Sabios Griegos24. El hecho concreto que más aseguró su reputación fue la predicción de un eclipse de sol. en 585 a.C., que tuvo lugar exactamente el. 28 de mayo del año que él había predicho. Igualmente fue el primero en mantener que la luna brilla por el reflejo del sol.

Según Proclo, primero fue a Egipto donde entró en contacto con la Geometría que luego introdujo a Grecia.

Tomó prestada La Geometría de los egipcios y dio en ella un avance fundamental ya que fue el primero en emprender la tarea de demostrar exposiciones matemáticas mediante series regulares de argumentos. En otras palabras, inventó la matemática deductiva. Se le asignan entre otros los siguientes teoremas:

1. Un ángulo inscripto en una semicircunferencia es un ángulo recto.

2. Todo círculo queda dividido en dos partes iguales por un diámetro.

3. Los ángulos básicos en un triángulo isósceles son iguales.

4. Los ángulos opuestos por el vértice que se forman al cortarse dos rectas, son iguales.

5. Si dos triángulos son tales que dos ángulos y un lado de uno de ellos son respectivamente iguales a dos ángulos y un lado del otro, entonces los dos triángulos son iguales.

Midió la altura de las pirámides midiendo la altura de sus sombras en el momento en el cual la sombra de una persona es igual a su altura. Este razonamiento no parece surgir de conocimientos geométricos sino más bien de una observación empírica. Creyó que en el. momento en que la sombra de un objeto coincide con su altura, también eso es válido para cualquier objeto, por ejemplo, la pirámide

Arquímedes

Físico y matemático, Arquímedes nació hacia 287 a. C. en Siracusa, en la costa occidental de Sicilia, que entonces pertenecía a Grecia. Heredó la vocación científica de su padre, quien, al parecer, se dedicaba a la astronomía. Pasó casi toda su vida en su ciudad natal y murió cuando la isla fue atacada por Roma en -212.

Un científico que dedicó toda su vida al estudio de la física y de las matemáticas, extrayendo aplicaciones útiles. Nació en Siracusa, ciudad de la Magna Grecia (Sicilia), en el 287 a.C.

Estudió en la escuela de Alejandría (en Egipto), una de las más famosas del mundo antiguo. Además de filósofo y matemático fue un atento observador e investigador del mundo natural.

sus intereses eran muy variados e hicieron de él uno de los mayores científicos de la Historia. Supo unir la lógica matemática a la experimentación, por esta razón se le puede considerar un hombre que se adelantó a su tiempo y precursor de Galileo.

De su vida sabemos por ilustres historiadores que no se cansaba jamás de hacer cálculos e inventar. Con él la mecánica se convirtió en una verdadera ciencia: ya que las máquinas se empezaron a pensar y construir en función de su utilidad.

Viajó a Alejandría, centro cultural por excelencia de la antigua Grecia, donde estudió en su adolescencia, coincidió con célebres hombres de ciencia como Euclides. Cuando regresó a Siracusa, sorprendió a todos con un método de su invención, destinado a desecar pantanos mediante la utilización de diques móviles. El mecanismo sería conocido como «tornillo de Arquímedes.

Su aportación a las matemáticas: Las investigaciones de Arquímedes en el ámbito de las matemáticas se centraren sobre todo, en la geometría y la aritmética y en lo que hoy se conoce como cálculo integral.

Dentro del campo de la aritmética, escribió dos textos fundamentales. Sobre! medida del circulo y El arenarlo. En la primera de estas obras, uno de sus escritos mi importantes, afirma que la razón entre la circunferencia y su diámetro es igual al sea cual sea el radio de la figura. Por otro lado, demuestra la equivalencia entre i área del círculo y la de un triángulo rectángulo cuyos catetos son el radio y la longitud de la circunferencia.

En El Arenario Arquímedes propone un método para escribir números de gran longitud, dotando a cada cifra de un orden diferente según su posición.

Entre sus publicaciones sobre geometría, las más representativas son De la esfera y del cilindro, donde introduce el concepto de concavidad, así como ciertos postulados referentes a la línea recta; Conoides y esferoides, que contiene la definió de las figuras engendradas por la rotación de distintas secciones planas de un cono y De de las espirales, centrada en el estudio de estas curvas y sus propiedades.

La denominada «espiral de Arquímedes» es resultado del movimiento que describe un punto que se desplaza con movimiento uniforme sobre una recta que gira alrededor de uno de sus puntos; su radio vector es proporcional al ángulo.

Entre las obras que han sobrevivido existe una pequeña obra maestra titulada Mediciones del círculo, que contiene uno de sus mejores ejemplos de argumentación geométrica, aquella en la que explica la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, lo cual le permitió obtener un cálculo notablemente preciso del valor de Pi. El método que utilizó aquí despejó el camino hacia uno de los principales descubrimientos matemáticos.

Arquímedes calculó el área de un círculo descubriendo los límites entre los cuales se hallaba dicha área, y luego estrechando gradualmente esos límites hasta aproximarse al área real. Esto lo hizo inscribiendo en el interior del círculo un polígono regular y circunscribiendo después el círculo en un polígono similar.

Pitágoras de Samos.

PITÁGORAS DE SAMOS (580 a.C- 520 a.C.)

Filósofo griego nacido en La Isla de Samos y muerto en Metaponto. Se lo considera el primer matemático puro, aunque no haya quedado ninguno de sus escritos. La sociedad que lideró estaba regida por códigos secretos que hace que su figura sea muy misteriosa.

La figura de Pitágoras está envuelta en un hato de Leyenda, misticismo y hasta de culto religioso. Y no es tan extraño si pensamos que fue contemporáneo de Buda, de Confucio y de Lao-Tse estos fundadores de las principales religiones orientales)

Pero Lo que colmó de gozo a Pitágoras, hasta el punto de mandar sacrificar un buey a los dioses, fue la demostración del famoso teorema. En geometría, el gran descubrimiento de la Escueta fue que la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos -conocido actualmente como el Teorema de Pitágoras-. Aunque este teorema era conocido por los babilonios 1000 años antes, Pitágoras fue el primero que lo demostró.

Por desgracia, el secreto que imponía las normas de la sociedad ha hecho imposible que esta demostración llegue a nuestro conocimiento, aunque podemos deducir que no sería muy distinta de la que Euclides nos brinda en sus Elementos. Sin duda es el teorema que cuenta con más número de demostraciones.

Scott Loomis reunió y publicó a principios del siglo XX 367 demostraciones.

A partir del teorema aparece el problema de la raíz cuadrada de

2, un número inconmensurable. Los griegos no pudieron darte solución

a este problema. Los irracionales no tenían explicación para ellos, eran parte del alagas (lo que no se puede explicar).

Se descubrió así de manera tajante la irracionalidad. Este descubrimiento de la irracionalidad condujo inevitablemente a La elaboración de la teoría de la divisibilidad.

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sábado, 28 de noviembre de 2015

Generalidades de los cuadriláteros

Generalidades de los Polígonos

Ejercicios de aplicación con Cuadriláteros

APLICACIÓN DE LOS POLÍGONOS

Triangulo:

El pentágono:

Grandes Matemáticos y personalidades en La Geometría de los Poligonos